第六篇:轻松搞定位运算

一 前言

​ 位运算,一个极容易被低端码农忽视的地带,因为它略微需要用一丢丢智商,真的只有那么一丢丢,但高手与low手的差距往往就是长这么一丢丢,能达到的深度就截然不同了,今天egon就来给大家聊一聊位运算那些风骚且高级的操作,但要理解位运算,得从机器数与真值说起,请看大屏幕

二 真值、机器数(原码、反码、补码)

​ “真值”指的就是数本身,例如-10,真值就是-10

​ 一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数

​ 在计算机中,用来表示有符号数的机器数有三种,即原码、反码、补码

​ 三种表示方法均有“符号位”和“数值位”两部分

1、符号位都是占据最高位,用0表示“正数”,用1表示“负数”
2、数值位,三种表示方法各不相同

​ 整型数字有8位、16位、32位、64位几种,篇幅问题,我们先单以8位整型为例来介绍

​ 在介绍之前,egon先来先扫一下盲,估计会扫死99%的人

 问:8位二进制数可以表示的数值范围是多少,99%的人张口就来:-128~127

​ ok,8位二进制数,最高位需要用来表示符号,那么剩下的7位用来表示数值

​ 于是,最大数为1111 1111=>+127,最小0111 1111=>-127,卧槽,得出的结论是8位二进制数可以表示的数值范围是-127到+127,傻逼了吧你,哈哈哈

​ 灵魂拷问:-128到底怎么来的???

​  真相是这样的:
   8位二进制数用7位表示数值,那么7位2进制数000 0000的值为0
   那么,它前面加上符号位0,还表示0吧?
   那好,如果它前面加上1呢,仍然表示0?这不是重复了么?
   一个0,怎么用两个值来表示呢!!!
   所以1000 0000就表示-128啦,

​ ok,我们接下来就在8位二进制数,即-128~127的范围内取值来介绍它的原码、反码、补码

1、正数:原码、反码、补码都一样
   真值:3
   原码:0000 0011   最高位为0,表示正数
   反码:0000 0011
   补码:0000 0011

2、负数:原码、反码、补码不同
   真值:-3
   原码:1000 0011   最高位为1,表示负数
   反码:1111 1100   由原码演变而来,原码的符号位不变,数值位全部取反
   补码:1111 1101   在反码的基础上+1

​ 为了大家能够清晰地看到”真值“与”补码“之间的相互转换,egon画了如下两幅图

​ 在计算机系统中,数值一律用补码来存储 !!!
​ 主要原因:使用补码,可以将符号位和其它位统一处理;同时,减法也可按加法来处理,需要注意的是两个用 补码表示的数相加时,如果最高位(符号位)有进位,则进位被舍弃,处理完后我们如上图所示用补码反推出真值即可,例如计算机在计算8-3的时候,会这么做8+(-3),具体如下

第一步:真值->原码->反码->补码
    真值:8
    原码:0000 1000  
    反码:0000 1000
    补码:0000 1000

    真值:-3
    原码:1000 0011  
    反码:1111 1100
    补码:1111 1101

第二步:补码之间的运算,此处为相加
    8的补码:0000 1000
   -3的补码:1111 1101
  相加得补码:0000 0101 # 补码相加,高位有进位会被舍弃

第三步:补码->反码->原码->真值
    上一步得到的补码结果:0000 0101
    符号位是0,为正数,那么就简单了,正数的原、反、补码都一样,所以一步到位
    补码->反码->原码:0000 0101

    原码->真值:5

练习:8+(-9)

第一步:真值->原码->补码
    真值:8
    原码:0000 1000  
    反码:0000 1000
    补码:0000 1000

    真值:-9
    原码:1000 1001  
    反码:1111 0110
    补码:1111 0111

第二步:补码之间的运算,此处为相加
    8的补码:0000 1000
   -9的补码:1111 0111
  相加得补码:1111 1111 

第三步:补码->反码->原码->真值
    补码->反码
        补码结果:1111 1111
        符号位是1,为负数,参照上图2的步骤

        补码->反码:-1,得到反码:1111 1110

    反码->原码:符号位不变,其余位取反,得到原码:1000 0001

    原码->真值:-1

​ 非常震撼人心的设计,有了补码以后,减法都可以当做加法去运算,你可知道,这将极大地简化计算机的运算设计。不仅如此!!!

​ 我们即将介绍的位运算也都是基于补码进行的,所以,你​还会觉得egon在啰嗦吗?呵呵

三 位运算

按位与&:两位全为1,结果才为1,否则为0
按位或|:两位只要存在一个1,结果就为1,否则为0
按位异或^:只有在两位不相同,即一个为0一个为1的情况下,结果才为1,否则为0
<< n:各二进制位全部左移n位,高位丢弃,低位补0
>> n: 各二进制位全部右移n位,如果是正数,则高位补0,如果是负数则高位补1

3.1 按位与&

示例1:8 & -3

第一步:真值->原码->反码->补码
    真值:8
    原码:0000 1000  
    反码:0000 1000
    补码:0000 1000

    真值:-3
    原码:1000 0011  
    反码:1111 1100
    补码:1111 1101

第二步:补码之间的运算,此处为&
    8的补码:0000 1000
   -3的补码:1111 1101
    &得补码:0000 1000

第三步:补码->反码->原码->真值
    上一步得到的补码结果:0000 1000
    符号位是0,为正数,那么就简单了,正数的原、反、补码都一样,所以一步到位
    补码->反码->原码:0000 1000

    原码->真值:8

示例2:-8 & -9

第一步:真值->原码->补码
    真值:-8
    原码:1000 1000  
    反码:1111 0111
    补码:1111 1000

    真值:-9
    原码:1000 1001  
    反码:1111 0110
    补码:1111 0111

第二步:补码之间的运算,此处为&
   -8的补码:1111 1000
   -9的补码:1111 0111
    &得补码:1111 0000 

第三步:补码->反码->原码->真值
    补码->反码
        补码结果:1111 0000 
        符号位是1,为负数,参照上图2的步骤

        补码->反码:-1,得到反码:1110 1111

    反码->原码:符号位不变,其余位取反,得到原码:1001 0000

    原码->真值:-16

3.2 按位或|

示例1:-8 | -9

第一步:真值->原码->补码
    真值:-8
    原码:1000 1000  
    反码:1111 0111
    补码:1111 1000

    真值:-9
    原码:1000 1001  
    反码:1111 0110
    补码:1111 0111

第二步:补码之间的运算,此处为|
   -8的补码:1111 1000
   -9的补码:1111 0111
    |得补码:1111 1111 

第三步:补码->反码->原码->真值
    补码->反码
        补码结果:1111 1111 
        符号位是1,为负数,参照上图2的步骤

        补码->反码:-1,得到反码:1111 1110

    反码->原码:符号位不变,其余位取反,得到原码:1000 0001

    原码->真值:-1

3.3 按位异或^

示例1:-8 ^ -9

第一步:真值->原码->补码
    真值:-8
    原码:1000 1000  
    反码:1111 0111
    补码:1111 1000

    真值:-9
    原码:1000 1001  
    反码:1111 0110
    补码:1111 0111

第二步:补码之间的运算,此处为^
   -8的补码:1111 1000
   -9的补码:1111 0111
    ^得补码:0000 1111 

第三步:补码->反码->原码->真值
    上一步得到的补码结果:0000 1111
    符号位是0,为正数,那么就简单了,正数的原、反、补码都一样,所以一步到位
    补码->反码->原码:0000 1111

    原码->真值:15

示例2:^ -8 单独一个^代表取反的意思(适用于go,不适用于python)

第一步:真值->原码->补码
    真值:-8
    原码:1000 1000  
    反码:1111 0111
    补码:1111 1000

第二步:
   -8的补码:1111 1000
 ^取反得补码:0000 0111 

第三步:补码->反码->原码->真值
    上一步得到的补码结果:0000 0111
    符号位是0,为正数,那么就简单了,正数的原、反、补码都一样,所以一步到位
    补码->反码->原码:0000 0111

    原码->真值:7

3.4 向左位移<< n

示范1:-8 << 3

第一步:真值->原码->补码
    真值:-8
    原码:1000 1000  
    反码:1111 0111
    补码:1111 1000

第二步:<< n 各二进制位全部左移n位,高位丢弃,低位补0
    补码:1111 1000
    <<3: 1100 0000

第三步:补码->反码->原码->真值
    补码->反码
        补码结果:1100 0000
        符号位是1,为负数,参照上图2的步骤

        补码->反码:-1,得到反码:1011 1111

    反码->原码:符号位不变,其余位取反,得到原码:1100 0000

    原码->真值:-64

3.5 向右位移>> n

示范1:-8 >> 3

第一步:真值->原码->补码
    真值:-8
    原码:1000 1000  
    反码:1111 0111
    补码:1111 1000

第二步:>> n 各二进制位全部右移n位,如果是正数,则高位补0,如果是负数则高位补1
    补码:1111 1000
    >>3: 1111 1111

第三步:补码->反码->原码->真值
    补码->反码
        补码结果:1111 1111
        符号位是1,为负数,参照上图2的步骤

        补码->反码:-1,得到反码:1111 1110

    反码->原码:符号位不变,其余位取反,得到原码:1000 0001

    原码->真值:-1

示范2:8 >> 3

第一步:真值->原码->补码
    真值:8
    原码:0000 1000  
    反码:0000 1000
    补码:0000 1000

第二步:>> n 各二进制位全部右移n位,如果是正数,则高位补0,如果是负责则高位补1
    补码:0000 1000
    >>3: 0000 0001

第三步:补码->反码->原码->真值
    上一步得到的补码结果:0000 0001
    符号位是0,为正数,那么就简单了,正数的原、反、补码都一样,所以一步到位
    补码->反码->原码:0000 0001

    原码->真值:1

示范3:-300 >> 8

第一步:真值->原码->补码
    真值:-300  
    原码:1000 0001 0010 1100 # -300 已经超过了8位二进制能表示的范围,需要用16位表示
    反码:1111 1110 1101 0011
    补码:1111 1110 1101 0100

第二步:>> n 各二进制位全部右移n位,如果是正数,则高位补0,如果是负责则高位补1
    补码:1111 1110 1101 0100
    >>8: 1111 1111 1111 1110

第三步:补码->反码->原码->真值
    补码->反码
        补码结果:1111 1111 1111 1110
        符号位是1,为负数,参照上图2的步骤

        补码->反码:-1,得到反码:1111 1111 1111 1101

    反码->原码:符号位不变,其余位取反,得到原码:1000 0000 0000 0010

    原码->真值:-2

四 位运算高级操作

位运算是 cpu 直接支持的,效率最高,位运算可能在平常的编程中使用的并不多,但涉及到底层优化,一些算法及源码可能会经常遇见,下面来介绍一下风骚的操作

4.1 用位运算 & 取代 % 取模

X % 2^n = X & (2^n – 1)
注意:用位运算 & 来取代 % 取模需要被取模的数必须是2的幂才成立

示范1:

10 % (2^3) 等于 10 & (2^3-1)
即
10 % 8 等于 10 & 7

示范2:

10 % (2^2) 等于 10 & (2^2-1)
即
10 % 4 等于 10 & 3

4.2 将一个数左移 n 位,相当于乘以了 2 的 n 次方,右移n位,相当于除以2的n次方取整

10 << 3 等同于10 * 2^3 
10 >> 3 等同于10 / 3

4.3 判断奇偶

我们可以利用 & 运算符的特性,来判断二进制数第一位是0还是1。
用if ((a & 1) == 0) 代替 if (a % 2 == 0)来判断a是不是偶数。

4.4 交互数值

1、借助临时变量来交互数值

    a:=10
    b:=20

    temp:=a
    a=b
    b=temp

    fmt.Println(a,b) // 结果20 10
2、借助累加和
如果考虑到内存,不希望使用临时变量(其实就是为了炫酷),可以这样实现:

    a:=10
    b:=20

    a = a + b
    b = a - b
    a = a - b
    fmt.Println(a,b) // 结果20 10

从数学角度来分析一下
- 第一步:a = a + b
- 第二步:b = a - b = (a + b) - b = a
- 第三步:a = a - b = (a + b) - b = (a + b) - a = b

3、使用 ^ 位运算符
如果想要更炫酷一点可以使用 ^ 来帮忙实现:
先来了解一下 ^ 的几个特性:
a ^ a = 0
a ^ 0 = a
(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)

代码:
    a:=10
    b:=20

    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
    fmt.Println(a,b) // 结果20 10

从数学角度来分析一下:
- 第一步:a = a ^ b
- 第二步:b = a ^ b = (a ^ b) ^ b = a ^ (b ^ b) = a ^ 0 = a
- 第三步:a = a ^ b = (a ^ b) ^ b = (a ^ a) ^ b = b ^ 0 = b

4.5 项目中的应用

在项目中可以用位运算进行一些状态的运算,效率极其高,例如:现在我们有一些爱好需求,这些爱好有
足球 羽毛球 乒乓球 篮球 游泳
如果按照整数的形式去定义,那就有无数多种情况,毕竟可以两两组合嘛,python中的列表、go中的数组都不是最佳选择

可以直接用二进制位表示,1代表爱好,0代表没有该爱好

爱好:只有足球
表示:1 0 0 0 0

爱好:乒乓球、游泳
表示:0 0 1 0 1

接下来就可以用位运算进行一些风骚的操作啦,例如

应用1:检查是否存在某个爱好
喜欢足球的状态是:1 0 0 0 0 
     小明的喜好:0 1 0 1 0
 与&计算的结果为:0 0 0 0 0,返回位false,所以小明不存在喜好足球的状态
应用2:添加某个爱好
喜欢足球:   1 0 0 0 0
小明的喜好: 0 1 0 1 0 
或|运算之后: 1 1 0 1 0
应用3:移除某个爱好
(传入)喜好足球 : 1 0 0 0 0

    小明的喜好:   1 0 1 0 1
先将足球取反^ :   0 1 1 1 1
   再进与&运算:   0 0 1 0 1

以上风骚操作均适用于python!!!egon忙忙叨叨写了一天,希望能够帮助到你

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